Высказывание (Суждение) – это повествовательное предложение, о котором имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно.

   Высказывание могут быть простыми и составными (сложными).

   Простые высказывания будем обозначать прописными буквами латинского алфавита, а факт истинности и ложности высказывания обозначается А=И (Истина), А=Л (Ложь).

   Если в высказывании А нельзя выделить некоторую часть, которая сама является высказыванием и не совпадает по смыслу с высказыванием А, то А называется простым высказыванием. В противном случае высказывание А называется составным (сложным).

   Высказывательные (Пропозиционные) переменные – буквы, обозначающие переменные высказывания.

   Пример 1. Приведем примеры, в котором очень четко разъясняется разница между высказыванием и не высказыванием.

  1. А: «Лошадь кушает овес» (А= И);
  2. B: «1 > 9» (B = Л);
  3. X: «Идет дождь». Это высказывание может быть истинным или ложным в зависимости от того, где и когда оно произносится. Для того чтобы придать этому высказыванию вполне определенное значение истинности, нужно установить точное место и время, в которые оно делается;
  4. Y: «Петя надел сапоги». Это высказывание. Его истинность зависит не только от времени и места действия, но и от конкретного лица. Петя Петров, может быть, надел сапоги, а Петя Васильев, наоборот, их снял. Поэтому истинностное значение высказывания y, как и высказывания X из 3, напрямую зависит от конкретной ситуации, в которой оно произносится;
  5. повествовательное предложение «Петя – хороший мальчик» не является высказыванием в нашем понимании, т. к. мы не можем сказать, истинное это утверждение или ложное по причине того, что нет ясного и точного определения понятия «хороший мальчик»

   Сложным (составным) является суждения, в которых можно выделить часть, в свою очередь являющуюся суждением. Сложные суждения образуются из простых, а также других сложных суждений с помощью логических союзов: «и», «или», «если…то…», «если и только если», «неверно, что…». Логические союзы имеют ряд особенностей по сравнению с грамматическими союзами:

  • Грамматические союзы, связывая между собой простые предложения и образуя сложные, обеспечивают смысловое единство целого сложного предложения. Это достигается использованием грамматических правил того или иного языка. При этом мы отвлекаемся от характеристики или ложности, как простых предложений, так и получившегося сложного предложения. В данном случае, для нас важно, чтобы полученное сложное предложение представляло собой некое смысловое единство.
  • Логические же союзы представляют собой связи между суждениями. А поскольку суждения как форма мышления может быть истинным или ложным, мы отвлекаемся от смысловых связей между мыслями, выражаемыми суждениями, и учитываем лишь логические значения – истинность и ложность суждений.

   Конструирование составных высказываний из простых осуществляется при помощи связок (логических союзов).

   Логическая операция – это способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

   Сложные суждения получаются из простых путем их связывания с помощью знаков логических операций и символов управления порядком действий (математических скобок).   

   Таблица истинности – это форма записи сложных логических выражений. Её строки выражают соответствие между значениями сложного выражения и сочетаниями значений простых выражений образующих его.

   Примеры 2. Рассмотрим ряд примеров, как из простых суждений с помощью логических операций формируется сложное суждение (прямая задача).

Отрицание

   Единственная логическая операция, относящаяся к одному высказыванию, - унарная, в отличии от остальных - бинарных. Обозначается: ¬A (  ), читается: не A . Истинностная таблица имеет вид:

  1. А: «Москва – столица Италии», ¬А : «Москва – не столица Италии»;
  2. В : «13 является простым числом»,  ¬В : «Неверно, что число 13 – простое».

Конъюнкция

   Обозначается A Λ B  ( A & B, A * B ), читается: A и B . Получили сложное высказывание, составленное из двух элементарных. Значение истинности или ложности высказывания, являющегося конъюнкцией двух элементарных высказываний A и B , задается следующей истинностной таблицей:

  1. А : «Груши – это фрукты», В : «Яблоки – это фрукты», А&В : «Груши и яблоки – фрукты».
  2. С : «Земля – третья планета от Солнца», D : «Меркурий – седьмая планета от Солнца», D&C : «Земля – третья планета от Солнца, а Меркурий – седьмая»
  3. ) E : «Писатель Л. Н. Толстой родился в 1828 г.», F : «Число 128 делится без остатка на число 2» F&E : «Писатель Л. Н. Толстой родился в 1828 г., число 128 делится без остатка на число 2»

   Чаще пользуются более удобным обозначением: «И» - 1, «Л» - 0. В этих обозначениях истинностная таблица конъюнкции будет иметь вид:

Итак, конъюнкция двух элементарных множеств истинна тогда и только тогда, когда оба элементарных высказывания истинны.

Дизъюнкция 

   Обозначается A ν B, (A + B) читается: A или B . При этом разделительный смысл союза «или» исключается. Истинностная таблица дизъюнкции имеет вид:

   Дизъюнкция двух элементарных высказываний является ложным высказыванием тогда и только тогда, когда оба высказывания, ее составляющие, ложны.

   A: «Клубника растет на березе», B: «Рим – столица Италии», 

   B+A : «Клубника растет на березе или Рим – столица Италии».

Импликация

   Обозначается A → B ( ), читается: если A , то B . При этом A называют посылкой, B - следствием. Импликация задается следующей истинностной таблице

   Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка A истинна, а следствие B - ложь.

    А: «1 + 1 = 5», В: «Рим – столица Италии»;

    В→А : «Если 1 + 1 = 5, то Рим – столица Италии»,

    А→В : «Если Рим – столица Италии, то 1 + 1 = 5».

Эквивалентность

   Эквивалентность (двойная импликация) Обозначается A ↔ B ( A = B ), читается: A тогда и только тогда, когда B . Задается следующей истинностной таблицей:

   Двойная импликация является истинностным высказыванием тогда и только тогда, когда высказывания A и B , ее составляющие, принимают одинаковое значение истинности или ложности.

 Х: «Система линейных алгебраических уравнений совместна» (истинностное значение высказывания x зависит от конкретной системы, поэтому будем считать x переменной величиной); Y: «Ранг матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений равен рангу расширенной матрицы» (y тоже переменная величина);

Y↔X: «Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы коэффициентов был равен рангу расширенной матрицы» (полученное высказывание Y↔X носит название теоремы Кронекера – Капелли ).

Логические операции и их обозначения

Пример 3. Даны простые суждения:

Z= «Яблоко зеленое»; V=«Яблоко вкусное»; G=«Яблоко кислое»; L=«Яблоко мелкое»; M=«Яблоко мягкое»; K=«Яблоко красное»; S=«Яблоко сладкое»; W=«Яблоко крупное»; T=«Яблоко твёрдое»;

Сформулируем сложные суждения из простых. 

Х1= «Яблоко красное и вкусное» Х1=K  И V

Х2= «Яблоко не только крупное, но и сладкое» Х2= W И S

Х3= «Яблоко зеленое или мягкое» Х3=Z ИЛИ M

Х4= «Чтобы яблоко было сладким, необходимо, чтобы оно было красным» Х4=S → K

Х5= «Чтобы яблоко было сладким, необходимо и достаточно, чтобы оно было красным» Х5=K → S

Х6= «Чтобы яблоко было сладким, необходимо и достаточно, чтобы оно было красным» Х6=S ↔ K

Сложные суждения из несколько операций

Х7= «Яблоко красное, хотя и кислое, но вкусное» Х7=K И G И V

Х8= «Яблока сладкое, но не вкусное» Х8=S И (¬V)

Х9= «Яблоко зеленое или красное, но твердое» Х9=(Z ИЛИ K) И T

Х7= «Неверно, что если яблоко крупное, то оно сладкое» Х7=¬(W→S)

Х10= «Если яблоко мелкое или зеленое, то оно твердое» Х10=(M ИЛИ Z) →T